Permutation et combinaison: la différence expliquée avec des exemples de formules

Les permutations et les combinaisons sont extrêmement utiles dans de nombreuses applications - de la programmation informatique à la théorie des probabilités en passant par la génétique.

Je vais vous présenter ces deux concepts côte à côte, afin que vous puissiez voir à quel point ils sont utiles.

La principale différence entre ces deux concepts est la commande. Avec Permutations , vous vous concentrez sur les listes d'éléments où leur ordre est important.

Par exemple, je suis né en 1977 . C'est le numéro 1 suivi du numéro 9 , suivi du numéro 7 , suivi du numéro 7 . Dans cet ordre particulier.

Si je change la commande en 7917 à la place, ce serait une année complètement différente. Ainsi, l'ordre compte .

Avec les combinaisons , par contre, l'accent est mis sur des groupes d'éléments où l'ordre n'a pas d' importance.

Comme ma tasse de café est une combinaison de café , de sucre et d' eau . Peu importe l'ordre dans lequel j'ajoute ces ingrédients. Il peut aussi bien y avoir de l' eau , du sucre et du café , c'est toujours la même tasse de café. Ainsi, l'ordre n'a pas d' importance.

Examinons maintenant de plus près ces concepts.

Partie 1: Permutations

Permutations où la répétition est autorisée

Imaginez que vous ayez un nouveau téléphone. Lorsque vous commencez à utiliser ce nouveau téléphone, il vous sera demandé à un moment donné de définir un mot de passe.

Gros plan et personnel

Le mot de passe doit être composé de 4 chiffres. N'importe quels 4 chiffres. Et ils peuvent être répétés.

Il y a 10 chiffres au total pour commencer. Ce sont: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Donc pour le premier chiffre de votre mot de passe, vous avez 10 choix.

Puisque vous pouvez utiliser à nouveau le même chiffre, le nombre de choix pour le deuxième chiffre de notre mot de passe sera à nouveau de 10 ! Ainsi, en choisissant jusqu'à présent deux des chiffres du mot de passe, les permutations sont 10 fois 10, ou 10 x 10 = 100 ou 102 .

Il en va de même pour le troisième chiffre de votre mot de passe. Vous pouvez à nouveau choisir parmi les 10 mêmes choix. Cette fois, vous aurez 10 fois 10 fois 10 , ou 10 x 10 x 10 = 1000 ou 103 permutations.

Enfin, pour le quatrième chiffre du mot de passe et les mêmes 10 chiffres au choix, on se retrouve avec 10 fois 10 fois 10 fois 10 , ou 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 ou 104 permutations.

Comme vous l' avez probablement remarqué, vous aviez 4 choix à faire et vous avez multiplié 10 quatre fois (10 x 10 x 10 x 10) pour arriver à un nombre total de permutations (10 000). Si vous deviez choisir 3 chiffres pour votre mot de passe, vous multiplieriez 10 trois fois. Si 7 , vous le feriez sept fois, et ainsi de suite.

Mais la vie ne se résume pas à des mots de passe avec des chiffres à choisir. Et si vous avez une fête d'anniversaire et que vous avez besoin de choisir 5 ballons colorés parmi 20 couleurs différentes disponibles?

Puisque vous avez le choix entre 20 couleurs différentes et que vous pouvez à nouveau choisir la même couleur, vous avez 20 choix pour chaque ballon . Le premier ballon est 20 , le deuxième ballon est 20 fois 20 , ou 20 x 20 = 400 etc. Pour le cinquième ballon, vous obtenez 20 x 20 x 20 x 20 x 20 = 3 200 000 ou 205 permutations.

Résumons avec la règle générale: lorsque l'ordre compte et que la répétition est autorisée, si n est le nombre de choses à choisir (bulles, chiffres, etc.), et que vous en choisissez r (5 bulles pour la fête, 4 chiffres pour le mot de passe , etc.), le nombre de permutations sera égal à P = nr .

Permutations où la répétition n'est pas autorisée

Ensuite, considérons le cas où la répétition n'est pas autorisée . A titre d'exemple, nous allons regarder les planètes de notre système solaire.

De combien de façons différentes pouvez-vous organiser ces 8 planètes? Les planètes sont: Mercure , Vénus , Terre , Mars , Jupiter , Saturne , Uranus et Neptune . Après avoir choisi, disons, Mercure, vous ne pouvez plus le choisir. Ainsi, vous devez réduire le nombre de choix disponibles à chaque fois que la planète est choisie.

Le premier choix aura 8 possibilités. Le deuxième choix aura 8 moins 1 égale 7 possibilités, puis 6 , suivi de 5 , suivi de 4, jusqu'à ce qu'il reste 1 planète dans la liste.

En suivant la logique du scénario précédent, le nombre total de permutations est: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40 320 .

En d'autres termes, il s'agit d'un produit de l'entier 8 et de tous les entiers positifs en dessous. Ce produit s'appelle Factorial et est indiqué par un point d'exclamation, comme ceci: 8!

Le nombre de permutations est égal à P = 8! ou plus généralement P = n!

Et si vous aviez seulement besoin d'organiser, disons, 5 de ces 8 planètes au lieu de toutes? Ensuite, vous ne faites que les 5 premières étapes de notre méthode. À savoir, P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 sera le nombre de façons dont vous pouvez organiser 5 planètes sur 8 .

Mais pourquoi s'arrêter ici? Pourquoi ne pas appliquer notre logique pour arriver à une formule plus générale? Pour rendre la notation ci-dessus facile à retenir pour n'importe quel nombre d'objets, nous allons utiliser une astuce. Dans une fraction, multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre (sauf zéro), n'affecte pas cette fraction. Donc:

Nombre de planètes à choisir parmi n = 8 , vous choisissez r = 5 d'entre elles. La substitution des nombres dans la formule ci-dessus nous donne P = 8! / (8 - 5)! = 8! / 3! . Identique à 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6 720 .

De là, le résultat de l'exemple précédent peut être dérivé. Là, vous avez organisé les 8 planètes disponibles sur 8 . En utilisant la nouvelle formule, P = 8! / (8 - 8)! = 8! / 0! . Puisque la factorielle de zéro est acceptée égale à 1 , P = 8! / 1 = 8 !. Ou plus généralement:

P = n! / (n - n)! = n! / 0! = n! .  

Une notation courte et pratique souvent utilisée est: P (n, r) = n! / (n - r)!

Se souvenir des formules est important. Mais ce qui est plus important pour résoudre des problèmes de la vie réelle, c'est de savoir quelles formules utiliser dans chaque situation. La pratique aide.

Quiz Pop:

Le tournoi est lancé et six équipes sont en compétition. La première place obtient l'or et la deuxième place des médailles d'argent. De combien de façons distinctes les médailles peuvent-elles être attribuées à ces équipes?

Choisissez 1 réponse


30
360
720
15
Soumettre

Explication: vous avez le choix entre 6 équipes. Donc n = 6 . L'or et l'argent ensemble vous donnent 2 médailles à décerner. Ainsi r = 2 . Substituer ces nombres dans votre formule nous donne P (6, 2) = 6! / (6 - 2)! = 6! / 4! = 6 x 5 = 30 .

Partie 2. Combinaisons

Combinaisons sans répétition

Pour rendre la comparaison plus vivante, revisitons notre exemple de sélection de planète. Et si vous voulez savoir quelles planètes sont choisies et non leur ordre d'apparition?

Là, vous aviez 6 720 façons différentes d'organiser 5 planètes sur 8. Mais comme l'ordre d'apparition n'a pas d' importance maintenant, bon nombre de ces moyens sont redondants . Ce sont les mêmes pour nous.

Un groupe de Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne est le même groupe que Mars, Jupiter, Vénus, Terre, Saturne et le groupe que Saturne, Mars, Terre, Jupiter, Vénus. Ce ne sont que des séquences différentes des 5 mêmes planètes.

Combien de groupes avez-vous qui sont les mêmes? Si vous choisissez r planètes par groupe, vous obtenez r! groupes. Pour r = 5 , vous obtenez r! = 5! = 120 groupes.

Ainsi, pour éliminer les groupes inutiles qui sont identiques, vous divisez le nombre de 6 720 permutations d'origine par 5! . Le résultat est 6 720/120 = 56 .

Pour généraliser, afin d'arriver au nombre de combinaisons , vous devez comprendre toutes les permutations et diviser par toutes les redondances .

En utilisant une notation courte et pratique: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n - r)!)

Et cela suppose que l'ordre n'a pas d' importance et qu'il n'y a pas de répétitions (c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un seul Jupiter à choisir).

Reprenons l'exemple du tournoi:

Le tournoi est lancé et six équipes sont en compétition. La première place obtient l'or et la deuxième place des médailles d'argent. Combien de groupes de médaillés sont possibles? L'ordre des équipes n'a pas d'importance

Choisissez 1 réponse


360
15
30
720
Soumettre

Comme avant, vous avez 6 équipes. Ainsi, n = 6 . Il y a deux médailles décernées, donc r = 2 . Cependant, cette fois, peu importe qui remporte l'or et qui gagne l'argent. L'or par équipe et l'argent par équipe sont les mêmes que l'argent par équipe et l'or par équipe. Substituer ces nombres dans votre formule nous donne C (6, 2) = 6! / (2! (6 - 2)!) = 6! / 2! 4! = 15 .

Combinaisons avec répétition

Pour compléter cet article, il existe un cas qui nécessite une attention particulière. Jusqu'à présent, dans nos combinaisons, nous avons supposé qu'il n'y avait pas de répétition. Il n'y avait pas deux éléments identiques.

Et si nous pouvons avoir des répétitions? Et si, comme dans notre exemple précédent, nous pouvions choisir plus d'un ballon de la même couleur? Si le nombre de ballons à choisir est n et que nous en choisissons r en tenant compte des mêmes couleurs et en ignorant l'ordre de disposition, nous finirons avec (n + r - 1)! / (r! (n - 1)!) Combinaisons .

Pour conclure, voici un tableau que vous pouvez utiliser pour référencer ces concepts et leurs formules.

J'espère que cet article vous a aidé à mieux comprendre ces deux concepts mathématiques importants. Merci d'avoir lu.