Compléter la formule carrée: Comment compléter le carré avec une équation quadratique

Considérons l'équation quadratique suivante: x2 = 9 . Si on nous demande de le résoudre, nous prendrions naturellement la racine carrée de 9 et finirions par 3 et -3 . Mais que faire si les méthodes simples de racine carrée ne fonctionnent pas? Et si l'équation inclut x élevé à la première puissance et ne peut pas être facilement factorisée?

Heureusement, il existe une méthode pour compléter le carré . En conséquence, une équation quadratique peut être résolue en prenant la racine carrée. Explorons cette étape par étape ensemble.

Disons qu'on nous donne l'équation suivante:

EXEMPLE 1: Compléter le carré

ÉTAPE 1: Séparez les termes variables du terme constant

Simplifions notre équation. Tout d'abord, séparez les termes qui incluent des variables des termes constants. Ensuite, soustrayez x de 13x (le résultat est 12x ) et soustrayez 7 de 6 (le résultat est -1 ).

ÉTAPE 2: Assurez-vous que le coefficient de X au carré est égal à 1

La méthode pour compléter le carré fonctionne beaucoup plus facilement lorsque le coefficient de x2 est égal à1 . Le coefficient dans notre cas est égal à 4 . Partage4 dans chaque membre donne x2 + 3x = - 1/4 .

ÉTAPE 3: Terminez le carré

Nous devons d'abord trouver le terme constant de notre carré complet. Le coefficient de x , qui est égal à3 est divisé par 2 et au carré, ce qui nous donne 9/4 .

Ensuite, nous ajoutons et soustrayons 9/4 comme indiqué ci-dessus. Cela n'affecte pas notre équation ( 9/4 - 9/4 = 0 ), mais nous donne une expression pour le carré complet x2 + 3x + 9/4 .

ÉTAPE 4: Factoriser l'expression X au carré + 3X + 9/4

Rappelons maintenant un (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2 plus général et utilisons-le dans l'exemple actuel. Remplacer nos nombres nous donne:   x2 + 3x + 9/4 = x2 + 2 * (3/2) * x + (3/2) 2 = (x + 3/2) 2 .

ÉTAPE 5: Prenez la racine carrée

Finalement, prendre la racine carrée des deux côtés nous donne √ (x + 3/2) 2 = ± √2 . Ou simplementx + 3/2 = ± √2 . Nous concluons cela en résolvant pour x : X 1 = √2 - 3/2et X 2 = - √2 - 3/2 .

EXEMPLE 2: Résolvons encore un

ÉTAPE 1: Séparez les termes variables du terme constant

Simplifiez en séparant les termes avec des variables des termes constants. Ensuite, effectuez une soustraction et une addition des deux côtés de l'équation.

ÉTAPE 2: Assurez-vous que le coefficient de x au carré est égal à 1

Ici, le coefficient de X2 est déjà égal à 1 , donc aucune autre action n'est nécessaire.

ÉTAPE 3: Terminez le carré

Comme dans l'exemple précédent, nous trouvons le terme constant de notre carré complet. Le coefficient de x , qui est égal à-8 est divisé par 2 et au carré, ce qui nous donne 16 .

Nous additionnons et soustrayons 16 et pouvons voir que x2 - 8x + 16 nous donne un carré complet.

ÉTAPE 4: Factoriser l'expression X au carré - 8X + 16

Puisque le terme constant -8 est avec le signe moins, nous utilisons cette forme générale: (x - a) 2 = x2 - 2ax + a2 . L'utilisation de nos nombres nous donne: x2 - 8x + 16 = x2 - 2 * (4) * x + (4) 2 = (x - 4) 2 .                              

ÉTAPE 5: Prenez la racine carrée

Finalement, prendre la racine carrée des deux côtés nous donne √ (x - 4) 2 = ± √11 . Ou simplementx - 4 = ± √11 . Nous concluons cela en résolvant pour x : X 1 = 4 + √11et X 2 = 4 - √11

Et voila!