Didacticiel sur la table de vérité de l'algèbre booléenne - Explication des symboles XOR, NOR et logiques

Nous aimons tous les ordinateurs. Ils peuvent faire tellement de choses incroyables. En quelques décennies, les ordinateurs ont complètement révolutionné presque tous les aspects de la vie humaine.

Ils peuvent effectuer des tâches de différents degrés de sophistication, tout en retournant simplement des zéros et des uns. Il est remarquable de voir comment une action aussi simple peut conduire à tant de complexité.

Mais je suis sûr que vous savez tous qu'une telle complexité ne peut être atteinte (pratiquement) en retournant simplement les chiffres au hasard. Il y a en effet un raisonnement derrière cela. Il existe des règles qui régissent la manière dont cela doit être fait. Dans cet article, nous discuterons de ces règles et nous verrons comment elles régissent la manière dont les ordinateurs «pensent».

Qu'est-ce que l'algèbre booléenne?

Les règles que j'ai mentionnées ci-dessus sont décrites par un champ de mathématiques appelé algèbre booléenne.

Dans son livre de 1854, le mathématicien britannique George Boole a proposé un ensemble systématique de règles pour la manipulation des valeurs de vérité. Ces règles ont donné une base mathématique pour traiter des propositions logiques. Ces ensembles de fondations ont conduit au développement de l'algèbre booléenne.

Pour mieux comprendre l'algèbre booléenne, nous devons d'abord comprendre les similitudes et les différences entre l'algèbre booléenne et d'autres formes d'algèbre.

L'algèbre, en général, traite de l'étude des symboles mathématiques et des opérations qui peuvent être effectuées sur ces symboles.

Ces symboles n'ont pas de signification propre. Ils représentent une autre quantité. C'est cette grandeur qui donne une certaine valeur à ces symboles et c'est cette grandeur sur laquelle les opérations sont effectivement effectuées.

L'algèbre booléenne traite également des symboles et des règles qui régissent les opérations sur ces symboles, mais la différence réside dans ce que ces symboles représentent .

Dans le cas de l'algèbre ordinaire, les symboles représentent les nombres réels alors qu'en algèbre booléenne, ils représentent les valeurs de vérité.

L'image ci-dessous montre l'ensemble des nombres réels. L'ensemble des nombres réels comprend les nombres naturels (1, 2, 3, 4 ....), les nombres entiers (tous les nombres naturels et 0), les entiers (.....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) et ainsi de suite. L'algèbre ordinaire traite de cet ensemble complet de nombres.

Les valeurs de vérité, en comparaison, consistent en un ensemble de deux valeurs seulement: False et True. Ici, je voudrais souligner le fait que nous pouvons utiliser n'importe quel autre symbole pour représenter ces valeurs.

Par exemple, en informatique, nous représentons principalement ces valeurs en utilisant 0 et 1. 0 est utilisé pour False et 1 pour True.

Vous pouvez également le faire de manière plus sophistiquée en représentant les valeurs de vérité avec d'autres symboles tels que les chats et les chiens ou les bananes et les oranges.

Le point ici est que la signification interne de ces symboles restera la même quel que soit le symbole que vous utilisez. Mais assurez-vous de ne pas changer les symboles lors de l'exécution des opérations.

Maintenant, la question est que si (Vrai et Faux), (0 et 1) ne sont que des représentations, alors qu'est-ce qu'ils essaient de représenter?

La signification sous-jacente derrière les valeurs de vérité vient du champ de la logique où les valeurs de vérité sont utilisées pour dire si une proposition est "Vrai" ou "Faux". Ici, les valeurs de vérité représentent la relation d'une proposition à la vérité, c'est-à-dire si la proposition est vraie ou fausse.

Une proposition est juste une déclaration comme "Tous les chats sont mignons".

Si la proposition ci-dessus est vraie, nous lui attribuons la valeur de vérité "True" ou "1", sinon nous lui attribuons "False" ou "0".

Dans l'électronique numérique, les valeurs de vérité sont utilisées pour représenter les états «On» et «Off» des circuits électroniques. Nous en discuterons plus à ce sujet plus loin dans cet article.

Opérations booléennes et tables de vérité

Tout comme l'algèbre ordinaire, l'algèbre booléenne a également des opérations qui peuvent être appliquées sur les valeurs pour obtenir des résultats. Bien que ces opérations ne soient pas similaires à celles de l'algèbre ordinaire, car, comme nous l'avons vu précédemment, l'algèbre booléenne fonctionne sur les valeurs de vérité plutôt que sur les nombres réels.

L'algèbre booléenne a trois opérations de base.

OU : également connu sous le nom de disjonction . Cette opération est effectuée sur deux variables booléennes. La sortie de l'opération OR sera 0 lorsque les deux opérandes sont 0, sinon ce sera 1.

Pour avoir une image plus claire de ce que fait cette opération, nous pouvons la visualiser à l'aide d'un tableau de vérité ci-dessous.

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

ET : également connu sous le nom de conjonction . Cette opération est effectuée sur deux variables booléennes. La sortie des opérations ET sera 1 lorsque les deux opérandes sont 1, sinon elle sera 0. La représentation de la table de vérité est la suivante.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

PAS : également connu sous le nom de négation . Cette opération n'est effectuée que sur une variable. Si la valeur de la variable est 1, cette opération la convertit simplement en 0 et si la valeur de la variable est 0, elle la convertit en 1.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

Algèbre booléenne et circuits numériques

Après son développement initial, l'algèbre booléenne est restée pendant très longtemps l'un de ces concepts en mathématiques qui n'avaient pas d'applications pratiques significatives.

Dans les années 1930, Claude Shannon, un mathématicien américain, s'est rendu compte que l'algèbre booléenne pouvait être utilisée dans des circuits où les variables binaires pourraient représenter les signaux de tension «basse» et «haute» ou les états «marche» et «arrêt».

Cette simple idée de faire des circuits à l'aide de l'algèbre booléenne a conduit au développement de l'électronique numérique qui a fortement contribué au développement de circuits pour ordinateurs.

Les circuits numériques implémentent l'algèbre booléenne à l'aide de portes logiques. Les portes logiques sont les circuits qui représentent une opération booléenne. Par exemple, une porte OU représentera une opération OU. Il en va de même pour les portes NOT et AND.

En plus des portes logiques de base, nous avons également des portes logiques qui peuvent être créées en utilisant la combinaison des portes logiques de base.

NAND: NAND gate is formed by a combination of the NOT and AND gates. NAND gate gives an output of 0 if both inputs are 1, otherwise 1.

NAND gate holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NAND gates only.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR: NOR gate is formed by a combination of NOT and OR gates. NOR gate gives an output of 1 if both inputs are 0, otherwise 0.

NOR gate, just like NAND gate, holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NOR gates only.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Most digital circuits are built using NAND or NOR gates because of their functional completeness property and also because they are easy to fabricate.

Other than the above mentioned gates we also have some special kind of gates which serve some specific purpose. These are as follows:

XOR: XOR gate or Exclusive-OR gate is a special type of logic gate which gives 0 as output if both of the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR: XNOR gate or Exclusive-NOR gate is a special type of logic gate which gives 1 as output when both the inputs are either 0 or 1, otherwise it gives 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Conclusion

So, with all that we can now conclude our discussion on Boolean Algebra here. I hope by now you have a decent picture of what Boolean Algebra is all about.

This is definitely not all you need to know about Boolean Algebra. Boolean Algebra has a lot of concepts and details that we were not able to discuss in this article.