La méthode d'Euler expliquée avec des exemples

Quelle est la méthode d'Euler?

La méthode d'Euler est une procédure numérique du premier ordre pour résoudre des équations différentielles ordinaires (ODE) avec une valeur initiale donnée.

Le problème général de la valeur initiale

Méthodologie

La méthode d'Euler utilise la formule simple,

pour construire la tangente au point xet obtenir la valeur de y(x+h), dont la pente est,

Dans la méthode d'Euler, vous pouvez approximer la courbe de la solution par la tangente dans chaque intervalle (c'est-à-dire par une séquence de segments de ligne courts), par pas de h.

En général , si vous utilisez une petite taille de pas, la précision de l'approximation augmente.

Formule générale

Valeur fonctionnelle à tout moment b, donnée pary(b)

où,

  • n = nombre d'étapes
  • h = largeur de l'intervalle (taille de chaque pas)

Pseudocode

Exemple

Trouver y(1), donné

En résolvant analytiquement, la solution est y = ex et y(1)= 2.71828. (Remarque: cette solution analytique sert uniquement à comparer la précision.)

En utilisant la méthode d'Euler, considérant h= 0.2, 0.1, 0.01, vous pouvez voir les résultats dans le diagramme ci - dessous.

Quand h= 0.2, y(1)= 2.48832(erreur = 8,46%)

Quand h= 0.1, y(1)= 2.59374(erreur = 4,58%)

Quand h= 0.01, y(1)= 2.70481(erreur = 0,50%)

Vous pouvez remarquer comment la précision s'améliore lorsque les pas sont petits.