Démystifier la programmation dynamique

Comment construire et coder des algorithmes de programmation dynamique

Vous en avez peut-être entendu parler lors de la préparation des interviews de codage. Peut-être que vous avez eu du mal à le traverser dans un cours d'algorithmes. Peut-être que vous essayez d'apprendre à coder par vous-même et qu'on vous a dit quelque part en cours de route qu'il était important de comprendre la programmation dynamique. Utiliser la programmation dynamique (DP) pour écrire des algorithmes est aussi essentiel qu'on le craint.

Et qui peut blâmer ceux qui s'en détournent? La programmation dynamique semble intimidante car mal enseignée. De nombreux didacticiels se concentrent sur le résultat - expliquant l'algorithme, au lieu du processus - trouver l'algorithme. Cela encourage la mémorisation, pas la compréhension.

Au cours de mon cours d'algorithmes cette année, j'ai mis en place mon propre processus pour résoudre des problèmes qui nécessitent une programmation dynamique. Une partie de celui-ci vient de mon professeur d'algorithmes (à qui on doit beaucoup de crédit!), Et d'autres de ma propre dissection des algorithmes de programmation dynamique.

Mais avant de partager mon processus, commençons par les bases. Qu'est-ce que la programmation dynamique, de toute façon?

Définition de la programmation dynamique

La programmation dynamique revient à décomposer un problème d'optimisation en sous-problèmes plus simples, et à stocker la solution à chaque sous-problème de sorte que chaque sous-problème ne soit résolu qu'une seule fois.

Pour être honnête, cette définition peut ne pas avoir de sens jusqu'à ce que vous voyiez un exemple de sous-problème. Ce n'est pas grave, cela revient dans la section suivante.

Ce que j'espère transmettre, c'est que DP est une technique utile pour les problèmes d'optimisation, ces problèmes qui recherchent la solution maximale ou minimale compte tenu de certaines contraintes, car il examine tous les sous-problèmes possibles et ne recalcule jamais la solution à aucun sous-problème. Cela garantit l'exactitude et l'efficacité, ce que nous ne pouvons pas dire de la plupart des techniques utilisées pour résoudre ou approximer des algorithmes. Cela seul rend DP spécial.

Dans les deux sections suivantes, je vais expliquer ce qu'est un sous-problème , puis expliquer pourquoi le stockage des solutions - une technique connue sous le nom de mémorisation - est important dans la programmation dynamique.

Sous-problèmes sur Sous-problèmes sur Sous-problèmes

Les sous-problèmes sont des versions plus petites du problème d'origine. En fait, les sous-problèmes ressemblent souvent à une version reformulée du problème d'origine. S'ils sont formulés correctement, les sous-problèmes s'appuient les uns sur les autres afin d'obtenir la solution au problème d'origine.

Pour vous donner une meilleure idée de la façon dont cela fonctionne, trouvons le sous-problème dans un exemple de problème de programmation dynamique.

Imaginez que vous êtes de retour dans les années 1950 en train de travailler sur un ordinateur IBM-650. Vous savez ce que cela signifie - des cartes perforées! Votre travail est d'homme ou de femme, l'IBM-650 pendant une journée. On vous donne un nombre naturel n cartes perforées à exécuter. Chaque carte perforée i doit être exécutée à une heure de début prédéterminée s_i et s'arrêter à une heure de fin prédéterminée f_i . Une seule carte perforée peut fonctionner sur l'IBM-650 à la fois. Chaque carte perforée a également une valeur associée v_i en fonction de son importance pour votre entreprise.

Problème : En tant que responsable de l'IBM-650, vous devez déterminer la planification optimale des cartes perforées qui maximise la valeur totale de toutes les cartes perforées exécutées.

Parce que je vais parcourir cet exemple en détail tout au long de cet article, je ne vais vous taquiner qu'avec son sous-problème pour le moment:

Sous-problème : la planification de la valeur maximale pour les cartes perforées i à n de sorte que les cartes perforées soient triées par heure de début.

Remarquez comment le sous-problème décompose le problème d'origine en composants qui constituent la solution. Avec le sous-problème, vous pouvez trouver la planification de la valeur maximale pour les cartes perforées n-1 à n , puis pour les cartes perforées n-2 à n , et ainsi de suite. En trouvant les solutions pour chaque sous-problème, vous pouvez ensuite vous attaquer au problème d'origine lui-même: la planification des valeurs maximales pour les cartes perforées 1 à n . Puisque le sous-problème ressemble au problème d'origine, les sous-problèmes peuvent être utilisés pour résoudre le problème d'origine.

Dans la programmation dynamique, après avoir résolu chaque sous-problème, vous devez le mémoriser ou le stocker. Voyons pourquoi dans la section suivante.

Mémorisation motivante avec des nombres de Fibonacci

Lorsqu'on vous demande de mettre en œuvre un algorithme qui calcule la valeur de Fibonacci pour un nombre donné, que feriez-vous? La plupart des gens que je connais opteraient pour un algorithme récursif qui ressemble à ceci en Python:

def fibonacciVal(n): if n == 0: return 0 elif n == 1: return 1 else: return fibonacciVal(n-1) + fibonacciVal(n-2)

Cet algorithme atteint son objectif, mais à un coût énorme . Par exemple, regardons ce que cet algorithme doit calculer pour résoudre n = 5 (abrégé en F (5)):

F(5) / \ / \ / \ F(4) F(3) / \ / \ F(3) F(2) F(2) F(1) / \ / \ / \ F(2) F(1) F(1) F(0) F(1) F(0) / \ F(1) F(0)

L'arbre ci-dessus représente chaque calcul qui doit être fait pour trouver la valeur de Fibonacci pour n = 5. Remarquez comment le sous-problème pour n = 2 est résolu trois fois. Pour un exemple relativement petit (n = 5), c'est beaucoup de calculs répétés et gaspillés!

Et si, au lieu de calculer la valeur de Fibonacci pour n = 2 trois fois, nous créions un algorithme qui la calcule une fois, stocke sa valeur et accède à la valeur de Fibonacci stockée pour chaque occurrence ultérieure de n = 2? C'est exactement ce que fait la mémorisation.

Dans cet esprit, j'ai écrit une solution de programmation dynamique au problème de la valeur de Fibonacci:

def fibonacciVal(n): memo = [0] * (n+1) memo[0], memo[1] = 0, 1 for i in range(2, n+1): memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2] return memo[n]

Remarquez comment la solution de la valeur de retour provient du tableau de mémorisation memo [], qui est rempli de manière itérative par la boucle for. Par «itérativement», je veux dire que le mémo [2] est calculé et stocké avant le mémo [3], le mémo [4],… et le mémo [ n ]. Comme mémo [] est rempli dans cet ordre, la solution de chaque sous-problème (n = 3) peut être résolue par les solutions à ses sous-problèmes précédents (n = 2 et n = 1) car ces valeurs étaient déjà stockées dans mémo [] à un moment antérieur.

La mémorisation signifie pas de recalcul, ce qui en fait un algorithme plus efficace. Ainsi, la mémorisation garantit que la programmation dynamique est efficace, mais c'est le choix du bon sous-problème qui garantit qu'un programme dynamique passe par toutes les possibilités afin de trouver le meilleur.

Maintenant que nous avons abordé la mémorisation et les sous-problèmes, il est temps d'apprendre le processus de programmation dynamique. Bouclez-vous.

Mon processus de programmation dynamique

Étape 1: Identifiez le sous-problème avec des mots.

Trop souvent, les programmeurs se tournent vers l'écriture de code avant de réfléchir de manière critique au problème à résoudre. Pas bon. Une stratégie pour activer votre cerveau avant de toucher le clavier consiste à utiliser des mots, anglais ou autres, pour décrire le sous-problème que vous avez identifié dans le problème d'origine.

Si vous résolvez un problème qui nécessite une programmation dynamique, prenez un morceau de papier et réfléchissez aux informations dont vous avez besoin pour résoudre ce problème. Écrivez le sous-problème en gardant cela à l'esprit.

For example, in the punchcard problem, I stated that the sub-problem can be written as “the maximum value schedule for punchcards i through n such that the punchcards are sorted by start time.” I found this sub-problem by realizing that, in order to determine the maximum value schedule for punchcards 1 through n such that the punchcards are sorted by start time, I would need to find the answer to the following sub-problems:

  • The maximum value schedule for punchcards n-1 through n such that the punchcards are sorted by start time
  • The maximum value schedule for punchcards n-2 through n such that the punchcards are sorted by start time
  • The maximum value schedule for punchcards n-3 through n such that the punchcards are sorted by start time
  • (Et cetera)
  • The maximum value schedule for punchcards 2 through n such that the punchcards are sorted by start time

If you can identify a sub-problem that builds upon previous sub-problems to solve the problem at hand, then you’re on the right track.

Step 2: Write out the sub-problem as a recurring mathematical decision.

Once you’ve identified a sub-problem in words, it’s time to write it out mathematically. Why? Well, the mathematical recurrence, or repeated decision, that you find will eventually be what you put into your code. Besides, writing out the sub-problem mathematically vets your sub-problem in words from Step 1. If it is difficult to encode your sub-problem from Step 1 in math, then it may be the wrong sub-problem!

There are two questions that I ask myself every time I try to find a recurrence:

  • What decision do I make at every step?
  • If my algorithm is at step i, what information would it need to decide what to do in step i+1? (And sometimes: If my algorithm is at step i, what information did it need to decide what to do in step i-1?)

Let’s return to the punchcard problem and ask these questions.

What decision do I make at every step? Assume that the punchcards are sorted by start time, as mentioned previously. For each punchcard that is compatible with the schedule so far (its start time is after the finish time of the punchcard that is currently running), the algorithm must choose between two options: to run, or not to run the punchcard.

If my algorithm is at stepi, what information would it need to decide what to do in stepi+1? To decide between the two options, the algorithm needs to know the next compatible punchcard in the order. The next compatible punchcard for a given punchcard p is the punchcard q such that s_q (the predetermined start time for punchcard q) happens after f_p (the predetermined finish time for punchcard p) and the difference between s_q and f_p is minimized. Abandoning mathematician-speak, the next compatible punchcard is the one with the earliest start time after the current punchcard finishes running.

If my algorithm is at stepi, what information did it need to decide what to do in stepi-1? The algorithm needs to know about future decisions: the ones made for punchcards i through n in order to decide to run or not to run punchcard i-1.

Now that we’ve answered these questions, perhaps you’ve started to form a recurring mathematical decision in your mind. If not, that’s also okay, it becomes easier to write recurrences as you get exposed to more dynamic programming problems.

Without further ado, here’s our recurrence:

OPT(i) = max(v_i + OPT(next[i]), OPT(i+1))

This mathematical recurrence requires some explaining, especially for those who haven’t written one before. I use OPT(i) to represent the maximum value schedule for punchcards i through n such that the punchcards are sorted by start time. Sounds familiar, right? OPT(•) is our sub-problem from Step 1.

In order to determine the value of OPT(i), we consider two options, and we want to take the maximum of these options in order to meet our goal: the maximum value schedule for all punchcards. Once we choose the option that gives the maximum result at step i, we memoize its value as OPT(i).

The two options — to run or not to run punchcard i — are represented mathematically as follows:

v_i + OPT(next[i])

This clause represents the decision to run punchcard i. It adds the value gained from running punchcard i to OPT(next[i]), where next[i] represents the next compatible punchcard following punchcard i. OPT(next[i]) gives the maximum value schedule for punchcards next[i] through n such that the punchcards are sorted by start time. Adding these two values together produces maximum value schedule for punchcards i through n such that the punchcards are sorted by start time if punchcard i is run.

OPT(i+1)

Conversely, this clause represents the decision to not run punchcard i. If punchcard i is not run, its value is not gained. OPT(i+1) gives the maximum value schedule for punchcards i+1 through n such that the punchcards are sorted by start time. So, OPT(i+1) gives the maximum value schedule for punchcards i through n such that the punchcards are sorted by start time if punchcard i is not run.

In this way, the decision made at each step of the punchcard problems is encoded mathematically to reflect the sub-problem in Step 1.

Step 3: Solve the original problem using Steps 1 and 2.

In Step 1, we wrote down the sub-problem for the punchcard problem in words. In Step 2, we wrote down a recurring mathematical decision that corresponds to these sub-problems. How can we solve the original problem with this information?

OPT(1)

It’s that simple. Since the sub-problem we found in Step 1 is the maximum value schedule for punchcards i through n such that the punchcards are sorted by start time, we can write out the solution to the original problem as the maximum value schedule for punchcards 1 through n such that the punchcards are sorted by start time. Since Steps 1 and 2 go hand in hand, the original problem can also be written as OPT(1).

Step 4: Determine the dimensions of the memoization array and the direction in which it should be filled.

Did you find Step 3 deceptively simple? It sure seems that way. You may be thinking, how can OPT(1) be the solution to our dynamic program if it relies on OPT(2), OPT(next[1]), and so on?

You’re correct to notice that OPT(1) relies on the solution to OPT(2). This follows directly from Step 2:

OPT(1) = max(v_1 + OPT(next[1]), OPT(2))

But this is not a crushing issue. Think back to Fibonacci memoization example. To find the Fibonacci value for n = 5, the algorithm relies on the fact that the Fibonacci values for n = 4, n = 3, n = 2, n = 1, and n = 0 were already memoized. If we fill in our memoization table in the correct order, the reliance of OPT(1) on other sub-problems is no big deal.

How can we identify the correct direction to fill the memoization table? In the punchcard problem, since we know OPT(1) relies on the solutions to OPT(2) and OPT(next[1]), and that punchcards 2 and next[1] have start times after punchcard 1 due to sorting, we can infer that we need to fill our memoization table from OPT(n) to OPT(1).

How do we determine the dimensions of this memoization array? Here’s a trick: the dimensions of the array are equal to the number and size of the variables on which OPT(•) relies. In the punchcard problem, we have OPT(i), which means that OPT(•) only relies on variable i, which represents the punchcard number. This suggest that our memoization array will be one-dimensional and that its size will be n since there are n total punchcards.

If we know that n = 5, then our memoization array might look like this:

memo = [OPT(1), OPT(2), OPT(3), OPT(4), OPT(5)]

However, because many programming languages start indexing arrays at 0, it may be more convenient to create this memoization array so that its indices align with punchcard numbers:

memo = [0, OPT(1), OPT(2), OPT(3), OPT(4), OPT(5)]

Step 5: Code it!

To code our dynamic program, we put together Steps 2–4. The only new piece of information that you’ll need to write a dynamic program is a base case, which you can find as you tinker with your algorithm.

A dynamic program for the punchcard problem will look something like this:

def punchcardSchedule(n, values, next): # Initialize memoization array - Step 4 memo = [0] * (n+1) # Set base case memo[n] = values[n] # Build memoization table from n to 1 - Step 2 for i in range(n-1, 0, -1): memo[i] = max(v_i + memo[next[i]], memo[i+1]) # Return solution to original problem OPT(1) - Step 3 return memo[1]

Congrats on writing your first dynamic program! Now that you’ve wet your feet, I’ll walk you through a different type of dynamic program.

Paradox of Choice: Multiple Options DP Example

Although the previous dynamic programming example had a two-option decision — to run or not to run a punchcard — some problems require that multiple options be considered before a decision can be made at each step.

Time for a new example.

Pretend you’re selling the friendship bracelets to n customers, and the value of that product increases monotonically. This means that the product has prices {p_1, …, p_n} such that p_i ≤ p_j if customer j comes after customer i. These n customers have values {v_1, …, v_n}. A given customer i will buy a friendship bracelet at price p_i if and only if p_iv_i; otherwise the revenue obtained from that customer is 0. Assume prices are natural numbers.

Problem: You must find the set of prices that ensure you the maximum possible revenue from selling your friendship bracelets.

Take a second to think about how you might address this problem before looking at my solutions to Steps 1 and 2.

Step 1: Identify the sub-problem in words.

Sub-problem: The maximum revenue obtained from customers i through n such that the price for customer i-1 was set at q.

I found this sub-problem by realizing that to determine the maximum revenue for customers 1 through n, I would need to find the answer to the following sub-problems:

  • The maximum revenue obtained from customers n-1 through n such that the price for customer n-2 was set at q.
  • The maximum revenue obtained from customers n-2 through n such that the price for customer n-3 was set at q.
  • (Et cetera)

Notice that I introduced a second variable q into the sub-problem. I did this because, in order to solve each sub-problem, I need to know the price I set for the customer before that sub-problem. Variable q ensures the monotonic nature of the set of prices, and variable i keeps track of the current customer.

Step 2: Write out the sub-problem as a recurring mathematical decision.

There are two questions that I ask myself every time I try to find a recurrence:

  • What decision do I make at every step?
  • If my algorithm is at step i, what information would it need to decide what to do in step i+1? (And sometimes: If my algorithm is at step i, what information would it need to decide what to do in step i-1?)

Let’s return to the friendship bracelet problem and ask these questions.

What decision do I make at every step? I decide at which price to sell my friendship bracelet to the current customer. Since prices must be natural numbers, I know that I should set my price for customer i in the range from q — the price set for customer i-1 — to v_i — the maximum price at which customer i will buy a friendship bracelet.

If my algorithm is at stepi, what information would it need to decide what to do in stepi+1? My algorithm needs to know the price set for customer i and the value of customer i+1 in order to decide at what natural number to set the price for customer i+1.

With this knowledge, I can mathematically write out the recurrence:

OPT(i,q) = max~([Revenue(v_i, a) + OPT(i+1, a)])
such that max~ finds the maximum over all a in the range q ≤ a ≤ v_i

Once again, this mathematical recurrence requires some explaining. Since the price for customer i-1 is q, for customer i, the price a either stays at integer q or it changes to be some integer between q+1 and v_i. To find the total revenue, we add the revenue from customer i to the maximum revenue obtained from customers i+1 through n such that the price for customer i was set at a.

In other words, to maximize the total revenue, the algorithm must find the optimal price for customer i by checking all possible prices between q and v_i. If v_iq, then the price a must remain at q.

What about the other steps?

Working through Steps 1 and 2 is the most difficult part of dynamic programming. As an exercise, I suggest you work through Steps 3, 4, and 5 on your own to check your understanding.

Runtime Analysis of Dynamic Programs

Now for the fun part of writing algorithms: runtime analysis. I’ll be using big-O notation throughout this discussion . If you’re not yet familiar with big-O, I suggest you read up on it here.

Generally, a dynamic program’s runtime is composed of the following features:

  • Pre-processing
  • How many times the for loop runs
  • How much time it takes the recurrence to run in one for loop iteration
  • Post-processing

Overall, runtime takes the following form:

Pre-processing + Loop * Recurrence + Post-processing

Let’s perform a runtime analysis of the punchcard problem to get familiar with big-O for dynamic programs. Here is the punchcard problem dynamic program:

def punchcardSchedule(n, values, next): # Initialize memoization array - Step 4 memo = [0] * (n+1) # Set base case memo[n] = values[n] # Build memoization table from n to 1 - Step 2 for i in range(n-1, 0, -1): memo[i] = max(v_i + memo[next[i]], memo[i+1]) # Return solution to original problem OPT(1) - Step 3 return memo[1]

Let’s break down its runtime:

  • Pre-processing: Here, this means building the the memoization array. O(n).
  • How many times the for loop runs: O(n).
  • How much time it takes the recurrence to run in one for loop iteration: The recurrence takes constant time to run because it makes a decision between two options in each iteration. O(1).
  • Post-processing: None here! O(1).

The overall runtime of the punchcard problem dynamic program is O(n) O(n) * O(1) + O(1), or, in simplified form, O(n).

You Did It!

Well, that’s it — you’re one step closer to becoming a dynamic programming wizard!

One final piece of wisdom: keep practicing dynamic programming. No matter how frustrating these algorithms may seem, repeatedly writing dynamic programs will make the sub-problems and recurrences come to you more naturally. Here’s a crowdsourced list of classic dynamic programming problems for you to try.

So get out there and take your interviews, classes, and life (of course) with your newfound dynamic programming knowledge!

Many thanks to Steven Bennett, Claire Durand, and Prithaj Nath for proofreading this post. Thank you to Professor Hartline for getting me so excited about dynamic programming that I wrote about it at length.

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