Fonctionnement des classificateurs Naive Bayes - avec des exemples de code Python

Les classificateurs Naive Bayes (NBC) sont des algorithmes d'apprentissage automatique simples mais puissants. Ils sont basés sur la probabilité conditionnelle et le théorème de Bayes.

Dans cet article, j'explique "l'astuce" derrière NBC et je vais vous donner un exemple que nous pouvons utiliser pour résoudre un problème de classification.

Dans les sections suivantes, je parlerai des mathématiques derrière NBC. N'hésitez pas à sauter ces sections et à passer à la partie mise en œuvre si les mathématiques ne vous intéressent pas.

Dans la section implémentation, je vais vous montrer un algorithme NBC simple. Ensuite, nous l'utiliserons pour résoudre un problème de classification. La tâche sera de déterminer si un certain passager du Titanic a survécu à l'accident ou non.

Probabilite conditionnelle

Avant de parler de l'algorithme lui-même, parlons des mathématiques simples derrière. Nous devons comprendre ce qu'est la probabilité conditionnelle et comment pouvons-nous utiliser le théorème de Bayes pour la calculer.

Pensez à un dé juste à six côtés. Quelle est la probabilité d'obtenir un six en jetant le dé? C'est facile, c'est 1/6. Nous avons six résultats possibles et tout aussi probables, mais nous ne sommes intéressés que par l'un d'entre eux. Donc, 1/6 ça l'est.

Mais que se passe-t-il si je vous dis que j'ai déjà lancé le dé et que le résultat est un nombre pair? Quelle est la probabilité que nous ayons un six maintenant?

Cette fois, les résultats possibles ne sont que de trois car il n'y a que trois nombres pairs sur le dé. Nous sommes toujours intéressés par un seul de ces résultats, donc maintenant la probabilité est plus grande: 1/3. Quelle est la différence entre les deux cas?

Dans le premier cas, nous n'avions aucune information préalable sur le résultat. Ainsi, nous devions considérer chaque résultat possible.

Dans le second cas, on nous a dit que le résultat était un nombre pair, afin que nous puissions réduire l'espace des résultats possibles aux trois nombres pairs qui apparaissent dans un dé à six faces régulier.

En général, lors du calcul de la probabilité d'un événement A, étant donné l'occurrence d'un autre événement B, nous disons que nous calculons la probabilité conditionnelle de A donné B, ou simplement la probabilité de A donné B. Nous la désignons P(A|B).

Par exemple, la probabilité d'obtenir un six étant donné que le nombre que nous avons est encore: P(Six|Even) = 1/3. Ici, nous avons désigné par Six l'événement consistant à obtenir un six et par Even l'événement consistant à obtenir un nombre pair.

Mais comment calculer les probabilités conditionnelles? Y a-t-il une formule?

Comment calculer les probs conditionnels et le théorème de Bayes

Maintenant, je vais vous donner quelques formules pour calculer les probs conditionnels. Je promets qu'ils ne seront pas difficiles, et ils sont importants si vous voulez comprendre les connaissances des algorithmes d'apprentissage automatique dont nous parlerons plus tard.

La probabilité d'un événement A compte tenu de l'occurrence d'un autre événement B peut être calculée comme suit:

P(A|B) = P(A,B)/P(B) 

P(A,B)dénote la probabilité que A et B se produisent en même temps et P(B)dénote la probabilité de B.

Notez que nous avons besoin P(B) > 0car cela n'a aucun sens de parler de la probabilité de A étant donné B si l'occurrence de B n'est pas possible.

On peut également calculer la probabilité d'un événement A, étant donné la survenue de plusieurs événements B1, B2, ..., Bn:

P(A|B1,B2,...,Bn) = P(A,B1,B2,...,Bn)/P(B1,B2,...,Bn) 

Il existe une autre façon de calculer les probabilités conditionnelles. Cette façon est le soi-disant théorème de Bayes.

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) P(A|B1,B2,...,Bn) = P(B1,B2,...,Bn|A)P(A)/P(B1,B2,...,Bn) 

Notez que nous calculons la probabilité de l'événement A étant donné l'événement B, en inversant l'ordre d'occurrence des événements.

Maintenant, nous supposons que l'événement A s'est produit et nous voulons calculer le prob de l'événement B (ou les événements B1, B2, ..., Bn dans le deuxième exemple et plus général).

Un fait important qui peut être dérivé de ce théorème est la formule à calculer P(B1,B2,...,Bn,A). C'est ce qu'on appelle la règle de la chaîne pour les probabilités.

P(B1,B2,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2,B3,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)P(B3, B4, ..., Bn, A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)...P(Bn | A)P(A) 

C'est une formule moche, n'est-ce pas? Mais dans certaines conditions, nous pouvons trouver une solution de contournement et l'éviter.

Parlons du dernier concept que nous devons connaître pour comprendre les algorithmes.

Indépendance

Le dernier concept dont nous allons parler est l'indépendance. Nous disons que les événements A et B sont indépendants si

P(A|B) = P(A) 

Cela signifie que le problème de l'événement A n'est pas affecté par l'occurrence de l'événement B. Une conséquence directe est que P(A,B) = P(A)P(B).

En clair, cela signifie que la probabilité d'occurrence de A et de B en même temps est égale au produit des probations d'événements A et B se produisant séparément.

Si A et B sont indépendants, il est également admis que:

P(A,B|C) = P(A|C)P(B|C) 

Nous sommes maintenant prêts à parler des classificateurs Naive Bayes!

Classificateurs Naive Bayes

Supposons que nous ayons un vecteur X de n caractéristiques et que nous voulions déterminer la classe de ce vecteur à partir d'un ensemble de k classes y1, y2, ..., yk . Par exemple, si nous voulons déterminer s'il va pleuvoir aujourd'hui ou non.

Nous avons deux classes possibles ( k = 2 ): pluie , pas pluie , et la longueur du vecteur d'entités pourrait être 3 ( n = 3 ).

La première caractéristique pourrait être de savoir s'il fait nuageux ou ensoleillé, la deuxième caractéristique pourrait être de savoir si l'humidité est élevée ou faible et la troisième caractéristique serait de savoir si la température est élevée, moyenne ou basse.

Donc, ceux-ci pourraient être des vecteurs de caractéristiques possibles.

Our task is to determine whether it'll rain or not, given the weather features.

After learning about conditional probabilities, it seems natural to approach the problem by trying to calculate the prob of raining given the features:

R = P(Rain | Cloudy, H_High, T_Low) NR = P(NotRain | Cloudy, H_High, T_Low) 

If R > NR we answer that it'll rain, otherwise we say it won't.

In general, if we have k classes y1, y2, ..., yk, and a vector of n features X = , we want to find the class yi that maximizes

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn, yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Notice that the denominator is constant and it does not depend on the class yi. So, we can ignore it and just focus on the numerator.

In a previous section, we saw how to calculate P(X1, X2,..., Xn, yi) by decomposing it in a product of conditional probabilities (the ugly formula):

P(X1, X2,..., Xn, yi) = P(X1 | X2,..., Xn, yi)P(X2 | X3,..., Xn, yi)...P(Xn | yi)P(yi) 

Assuming all the features Xi are independent and using Bayes's Theorem, we can calculate the conditional probability as follows:

P(yi | X1, X2,..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

And we just need to focus on the numerator.

By finding the class yi that maximizes the previous expression, we are classifying the input vector. But, how can we get all those probabilities?

How to calculate the probabilities

When solving these kind of problems we need to have a set of previously classified examples.

For instance, in the problem of guessing whether it'll rain or not, we need to have several examples of feature vectors and their classifications that they would be obtained from past weather forecasts.

So, we would have something like this:

...  -> Rain  -> Not Rain  -> Not Rain ... 

Suppose we need to classify a new vector . We need to calculate:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain)P(H_Low | T_Low, Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

We get the previous expression by applying the definition of conditional probability and the chain rule. Remember we only need to focus on the numerator so we can drop the denominator.

We also need to calculate the prob for NotRain, but we can do this in a similar way.

We can find P(Rain) = # Rain/Total. That means counting the entries in the dataset that are classified with Rain and dividing that number by the size of the dataset.

To calculate P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain) we need to count all the entries that have the features H_Low, T_Low and Cloudy. Those entries also need to be classified as Rain. Then, that number is divided by the total amount of data. We calculate the rest of the factors of the formula in a similar fashion.

Making those computations for every possible class is very expensive and slow. So we need to make assumptions about the problem that simplify the calculations.

Naive Bayes Classifiers assume that all the features are independent from each other. So we can rewrite our formula applying Bayes's Theorem and assuming independence between every pair of features:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | Rain)P(H_Low | Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

Now we calculate P(Cloudy | Rain) counting the number of entries that are classified as Rain and were Cloudy.

The algorithm is called Naive because of this independence assumption. There are dependencies between the features most of the time. We can't say that in real life there isn't a dependency between the humidity and the temperature, for example. Naive Bayes Classifiers are also called Independence Bayes, or Simple Bayes.

The general formula would be:

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Remember you can get rid of the denominator. We only calculate the numerator and answer the class that maximizes it.

Now, let's implement our NBC and let's use it in a problem.

Let's code!

I will show you an implementation of a simple NBC and then we'll see it in practice.

The problem we are going to solve is determining whether a passenger on the Titanic survived or not, given some features like their gender and their age.

Here you can see the implementation of a very simple NBC:

class NaiveBayesClassifier: def __init__(self, X, y): ''' X and y denotes the features and the target labels respectively ''' self.X, self.y = X, y self.N = len(self.X) # Length of the training set self.dim = len(self.X[0]) # Dimension of the vector of features self.attrs = [[] for _ in range(self.dim)] # Here we'll store the columns of the training set self.output_dom = {} # Output classes with the number of ocurrences in the training set. In this case we have only 2 classes self.data = [] # To store every row [Xi, yi] for i in range(len(self.X)): for j in range(self.dim): # if we have never seen this value for this attr before, # then we add it to the attrs array in the corresponding position if not self.X[i][j] in self.attrs[j]: self.attrs[j].append(self.X[i][j]) # if we have never seen this output class before, # then we add it to the output_dom and count one occurrence for now if not self.y[i] in self.output_dom.keys(): self.output_dom[self.y[i]] = 1 # otherwise, we increment the occurrence of this output in the training set by 1 else: self.output_dom[self.y[i]] += 1 # store the row self.data.append([self.X[i], self.y[i]]) def classify(self, entry): solve = None # Final result max_arg = -1 # partial maximum for y in self.output_dom.keys(): prob = self.output_dom[y]/self.N # P(y) for i in range(self.dim): cases = [x for x in self.data if x[0][i] == entry[i] and x[1] == y] # all rows with Xi = xi n = len(cases) prob *= n/self.N # P *= P(Xi = xi) # if we have a greater prob for this output than the partial maximum... if prob > max_arg: max_arg = prob solve = y return solve 

Here, we assume every feature has a discrete domain. That means they take a value from a finite set of possible values.

The same happens with classes. Notice that we store some data in the __init__ method so we don't need to repeat some operations. The classification of a new entry is carried on in the classify method.

This is a simple example of an implementation. In real world applications you don't need (and is better if you don't make) your own implementation. For example, the sklearn library in Python contains several good implementations of NBC's.

Notice how easy it is to implement it!

Now, let's apply our new classifier to solve a problem. We have a dataset with the description of 887 passengers on the Titanic. We also can see whether a given passenger survived the tragedy or not.

So our task is to determine if another passenger that is not included in the training set made it or not.

In this example, I'll be using the pandas library to read and process the data. I don't use any other tool.

The data is stored in a file called titanic.csv, so the first step is to read the data and get an overview of it.

import pandas as pd data = pd.read_csv('titanic.csv') print(data.head()) 

The output is:

Survived Pclass Name \ 0 0 3 Mr. Owen Harris Braund 1 1 1 Mrs. John Bradley (Florence Briggs Thayer) Cum... 2 1 3 Miss. Laina Heikkinen 3 1 1 Mrs. Jacques Heath (Lily May Peel) Futrelle 4 0 3 Mr. William Henry Allen Sex Age Siblings/Spouses Aboard Parents/Children Aboard Fare 0 male 22.0 1 0 7.2500 1 female 38.0 1 0 71.2833 2 female 26.0 0 0 7.9250 3 female 35.0 1 0 53.1000 4 male 35.0 0 0 8.0500 

Notice we have the Name of each passenger. We won't use that feature for our classifier because it is not significant for our problem. We'll also get rid of the Fare feature because it is continuous and our features need to be discrete.

There are Naive Bayes Classifiers that support continuous features. For example, the Gaussian Naive Bayes Classifier.

y = list(map(lambda v: 'yes' if v == 1 else 'no', data['Survived'].values)) # target values as string # We won't use the 'Name' nor the 'Fare' field X = data[['Pclass', 'Sex', 'Age', 'Siblings/Spouses Aboard', 'Parents/Children Aboard']].values # features values 

Then, we need to separate our data set in a training set and a validation set. The later is used to validate how well our algorithm is doing.

print(len(y)) # >> 887 # We'll take 600 examples to train and the rest to the validation process y_train = y[:600] y_val = y[600:] X_train = X[:600] X_val = X[600:] 

We create our NBC with the training set and then classify every entry in the validation set.

We measure the accuracy of our algorithm by dividing the number of entries it correctly classified by the total number of entries in the validation set.

## Creating the Naive Bayes Classifier instance with the training data nbc = NaiveBayesClassifier(X_train, y_train) total_cases = len(y_val) # size of validation set # Well classified examples and bad classified examples good = 0 bad = 0 for i in range(total_cases): predict = nbc.classify(X_val[i]) # print(y_val[i] + ' --------------- ' + predict) if y_val[i] == predict: good += 1 else: bad += 1 print('TOTAL EXAMPLES:', total_cases) print('RIGHT:', good) print('WRONG:', bad) print('ACCURACY:', good/total_cases) 

The output:

TOTAL EXAMPLES: 287 RIGHT: 200 WRONG: 87 ACCURACY: 0.6968641114982579 

It's not great but it's something. We can get about a 10% accuracy improvement if we get rid of other features like Siblings/Spouses Aboard and Parents/Children Aboard.

You can see a notebook with the code and the dataset here

Conclusions

Today, we have neural networks and other complex and expensive ML algorithms all over the place.

NBCs are very simple algorithms that let us achieve good results in some classification problems without needing a lot of resources. They also scale very well, which means we can add a lot more features and the algorithm will still be fast and reliable.

Even in a case where NBCs were not a good fit for the problem we were trying to solve, they might be very useful as a baseline.

We could first try to solve the problem using an NBC with a few lines of code and little effort. Then we could try to achieve better results with more complex and expensive algorithms.

This process can save us a lot of time and gives us an immediate feedback about whether complex algorithms are really worth it for our task.

In this article you read about conditional probabilities, independence, and Bayes's Theorem. Those are the Mathematical concepts behind Naive Bayes Classifiers.

After that, we saw a simple implementation of an NBC and solved the problem of determining whether a passenger on the Titanic survived the accident.

I hope you found this article useful. You can read about Computer Science related topics in my personal blog and by following me on Twitter.