La règle de Simpson: la formule et son fonctionnement

La règle de Simpson est une méthode d'intégration numérique. En d'autres termes, c'est l'approximation numérique d'intégrales définies.

La règle de Simpson est la suivante:

Dedans,

  • f(x)s'appelle l' intégrande
  • a = limite inférieure d'intégration
  • b = limite supérieure d'intégration

Règle 1/3 de Simpson

Comme le montre le diagramme ci-dessus, l'intégrale f(x)est approchée par un polynôme du second ordre; l'être interpolant quadratique P(x).

L'approximation suit,

Remplacer (b-a)/2comme h, nous obtenons,

Comme vous pouvez le voir, il y a un facteur de 1/3dans l'expression ci-dessus. C'est pourquoi, cela s'appelle la règle 1/3 de Simpson .

Si une fonction est hautement oscillatoire ou manque de dérivées à certains points, la règle ci-dessus peut ne pas produire des résultats précis.

Une façon courante de gérer cela consiste à utiliser l' approche de règle de Simpson composite . Pour ce faire, divisez [a,b]en petits sous-intervalles, puis appliquez la règle de Simpson à chaque sous-intervalle. Ensuite, additionnez les résultats de chaque calcul pour produire une approximation sur l'intégrale entière.

Si l'intervalle [a,b]est divisé en nsous-intervalles et nest un nombre pair, la règle de Simpson composite est calculée avec la formule suivante:

x j = a + jh pour j = 0,1,…, n-1, n avec h = (ba) / n ; en particulier, x 0 = a et x n = b .

Exemple en C ++:

Pour approximer la valeur de l'intégrale donnée ci-dessous où n = 8:

#include #include using namespace std; float f(float x) { return x*sin(x); //Define the function f(x) } float simpson(float a, float b, int n) { float h, x[n+1], sum = 0; int j; h = (b-a)/n; x[0] = a; for(j=1; j<=n; j++) { x[j] = a + h*j; } for(j=1; j<=n/2; j++) { sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]); } return sum*h/3; } int main() { float a,b,n; a = 1; //Enter lower limit a b = 4; //Enter upper limit b n = 8; //Enter step-length n if (n%2 == 0) cout<

Simpson's 3/8 Rule

Simpson's 3/8 rule is similar to Simpson's 1/3 rule, the only difference being that, for the 3/8 rule, the interpolant is a cubic polynomial. Though the 3/8 rule uses one more function value, it is about twice as accurate as the 1/3 rule.

Simpson’s 3/8 rule states :

Original text


Replacing (b-a)/3 as h, we get,

Simpson’s 3/8 rule for n intervals (n should be a multiple of 3):

where xj = a+jh for j = 0,1,…,n-1,n with h=(b-a)/n; in particular, x0 = a and xn = b.